ПРОГРАММА-МИНИМУМ
кандидатского экзамена по специальности
05.13.18 «Математическое
моделирование,
численные методы и комплексы программ»
по физико-математическим и техническим наукам
Введение
В основе настоящей программы лежит материал курсов: функциональный анализ, математическая физика, теория вероятностей, математическая статистика, численные методы.
Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по управлению, вычислительной технике и информатике при участии МГУ им. М.В. Ломоносова.
1.
Математические основыЭлементы теории функций и функционального анализа. Понятие меры и интеграла Лебега. Метрические и нормированные пространства. Пространства интегрируемых функций. Пространства Соболева. Линейные непрерывные функционалы. Теорема Хана—Банаха. Линейные операторы. Элементы спектральной теории. Дифференциальные и интегральные операторы.
Экстремальные задачи. Выпуклый анализ.
Экстремальные задачи в евклидовых пространствах. Выпуклые задачи на минимум. Математическое программирование, линейное программирование, выпуклое программирование. Задачи на минимакс. Основы вариационного исчисления. Задачи оптимального управления. Принцип максимума. Принцип динамического программирования.Теория вероятностей. Математическая статистика.
Аксиоматика теории вероятностей. Вероятность, условная вероятность. Независимость. Случайные величины и векторы. Элементы корреляционной теории случайных векторов. Элементы теории случайных процессов. Точечное и интервальное оценивание параметров распределения. Элементы теории проверки статистических гипотез. Элементы многомерного статистического анализа. Основные понятия теории статистических решений. Основы теории информации.2.
Информационные технологииПринятие решений.
Общая проблема решения. Функция потерь. Байесовский и минимаксный подходы. Метод последовательного принятия решения.Исследование операций и задачи искусственного интеллекта. Экспертизы и неформальные процедуры. Автоматизация проектирования. Искусственный интеллект. Распознавание образов.
3.
Компьютерные технологииЧисленные методы.
Интерполяция и аппроксимация функциональных зависимостей. Численное дифференцирование и интегрирование. Численные методы поиска экстремума. Вычислительные методы линейной алгебры. Численные методы решения систем дифференциальных уравнений. Сплайн-аппроксимация, интерполяция, метод конечных элементов. Преобразования Фурье, Лапласа, Хаара и др. Численные методы вейвлет-анализа.Вычислительный эксперимент.
Принципы проведения вычислительного эксперимента. Модель, алгоритм, программа.Алгоритмические языки.
Представление о языках программирования высокого уровня. Пакеты прикладных программ.4.
Методы математического моделированияОсновные принципы математического моделирования.
Элементарные математические модели в механике, гидродинамике, электродинамике. Универсальность математических моделей. Методы построения математических моделей на основе фундаментальных законов природы. Вариационные принципы построения математических моделейМетоды исследования математических моделей.
Устойчивость. Проверка адекватности математических моделей.Математические модели в научных исследованиях. Математические модели в статистической механике, экономике, биологии. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем.
Задачи редукции к идеальному прибору. Синтез выходного сигнала идеального прибора. Проверка адекватности модели измерения и адекватности результатов редукции.
Модели динамических систем. Особые точки. Бифуркации. Динамический хаос. Эргодичность и перемешивание. Понятие о самоорганизации. Диссипативные структуры. Режимы с обострением.
Основная литература
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1984. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 1997. Математическое моделирование / Под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Садовничего и др. М.: Изд-во МГУ, 1993. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М.: ИЗОГРАФ, 1997. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М.: Физматлит, 2002.Дополнительная литература
Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. Пытьев Ю.П. Математические методы анализа эксперимента. М.: Высш. школа, 1989. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2000. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ, 1984. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972.